El problema del cumpleaños

Imagina que estás con 9 amigos. No hay gemelos, ni siameses, ni es año bisiesto, para no complicar más las cosas.

¿Qué probabilidad hay de que dos de vosotros cumpláis años el mismo día?
Hay 365 días en un año, así que parece seguro asumir que es bastante complicado que dos personas cumplan años el mismo día, a menos que nos encontremos en un grupo muy numeroso de personas.
La estadística nos dice otra cosa. 

Basta un grupo de 23 personas para que la probabilidad de que dos de ellas hayan nacido el mismo día del año sea del 50%, y se llega al 99% con sólo 57 personas.
Lo podemos probar contigo y tu grupo de amigos, que sólo sois 10 y se calcula rápido. Este problema tiene dos posibles opciones: dos personas cumplen años el mismo día o no lo hacen.

Lo que calcularemos será la probabilidad de que dos personas NO cumplan años el mismo día, que es mucho más simple. Como la probabilidad de que dos personas hayan nacido el mismo día y la probabilidad de que no, sumadas, tienen que cubrir todos los escenarios (el 100%), podremos calcular la probabilidad contraria con una simple resta.

Digamos que tú has nacido el 3 de junio, que es sólo uno de los 365 días del año. La probabilidad de que uno de tus compañeros no haya nacido el 3 de junio es de 364/365. Es decir, puede haber nacido en cualquiera de los otros 364 días de los 365 posibles, mientras no sea el 3 de junio.
Para que un tercer compañero tampoco cumpla años el mismo día que tú o que tu primer amigo, tiene que haber nacido en una fecha que no sea la de ninguno de vosotros. Por tanto, puede haber nacido en cualquiera del resto de los 363 días de los 365 que tiene el año. 
Aplicando esta lógica a las diez personas, podemos calcular la probabilidad de que dos personas no hayan nacido el mismo día como:
Probabilidad de no compartir fecha de cumpleaños = (365/365)*(364/365)*(363/365)*(362/365)*(361/365)*(360/365)*(359/365)*(358/365)*(357/365)*(356/365)*100 = 88,30%
Por tanto, de un posible total del 100%, la probabilidad de que dos personas. de un grupo de 10, cumplan años el mismo día es del 11,70%.

A partir de un grupo de 57, la probabilidad supera el 99% y sólo añade decimales hasta llegar a 366, cuando la probabilidad de que dos de ellas hayan nacido el mismo día llega al 100%, porque ya hay una persona más que días disponibles y por fuerza tiene que repetir alguien.

En el siguiente gráfico aparecen representadas las probabilidades para hasta 100 personas. 

Crédito: wikipedia.com
Y en la siguiente tabla, la misma información de manera más palpable: n representa número de integrantes en el grupo y p(n) es la probabilidad de que dos cumplan años el mismo día.

Para quien no esté familiarizado con términos como 1.45×10−155, este número es lo mismo que 1.45 multiplicado por 0,0000… (155 ceros en total) …0001. 

7 pensamientos en “El problema del cumpleaños”

  1. El cálculo en este artículo parece tener sentido pero está mal, en este instante no me voy a fijar en un libro de probabilidad para hacer el cálculo real sin embargo para darles una noción del por que: en un grupo de 500 personas (por ejemplo) existe una mínima probabilidad de que 499 cumplan el mismo día y una en un día diferente.

  2. La probabilidad que se calcula es la de la coincidencia de dos fechas cualquiera, no la de la coincidencia con una fecha concreta ( la tuya u otra cualquiera)
    La dificultad para asegurarse el 100% de éxito probabilistico es meter a 366 personas en el salón.

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