Respuestas I: Disparo vertical.

Adalberto Aguerri nos mandaba por Twitter el siguiente haiku:

Oye, una bala disparada en vertical. 
Llegará hasta arriba y comenzará a bajar.
¿A qué velocidad llegará al suelo?

Y, sin querer, ha estrenado una nueva sección del blog en la que, una vez por semana, responderemos a cualquier pregunta que tengáis relacionada con la física, la química o cualquier otra ciencia, por extravagante que sea. Por ejemplo, “¿Qué intensidad de campo gravitatorio nos partiría los huesos?” o “¿A qué velocidad tendría que correr un leopardo para que prenda fuego por pura fricción contra el aire?“. Queremos ese tipo de incógnitas.

La sección se llamará “Respuestas”, y cualquiera puede mandar una pregunta por Twitter, Facebook, o al correo jordipereyra@cienciadesofa.com.

Sin más dilación, respondamos a Adalberto.

Mirando por Google, resulta que el calibre de bala más común es el .22, lo que significa que la cabeza de la bala mide 0.22 pulgadas de diámetro, o 5.6  milímetros. Estas balas, además, miden 9.8 milímetros de largo y pesan 3 gramos.

Ante nada, veamos la estructura de una bala.

Las medidas que hemos dado corresponden a la punta de la bala, sin contar el casquillo ni el peso de la pólvora, ya que queremos ver qué pasa con el proyectil. Lo que pase con el resto no nos interesa.

Supongamos que salimos pistola en mano al patio un día en el que no hay la más mínima brisa de aire. Supondremos, también, que tenemos un pulso imperturbable, que somos capaces de disparar balas perfectamente perpendiculares al suelo y que nadie llama a la policía.

Teniendo en cuenta las características del calibre .22 para rifles largos, sabemos que la pólvora que contiene el casquillo es capaz de propulsar la bala a 330 m/s al salir del cañón. Disparada hacia arriba, la bala irá perdiendo velocidad a medida que asciende, ya que la atracción gravitatoria de la Tierra la ralentizará a un ritmo de 9.8 m/s cada segundo. Usando las ecuaciones de tiro parabólico, podemos calcular que la bala va a perder toda su velocidad al alcanzar los 5.550 metros de altura. Llegada a ese punto, volverá a caer hacia el suelo.

Y ahora viene el quid de la cuestión. ¿Qué velocidad alcanzará la bala, cayendo desde 5.550 metros?

A primera vista, parecería que estaríamos condenados a ser atravesados de arriba a abajo por una trozo de plomo que no ha dejado de acelerar durante 5 kilómetros y medio, a menos que empezáramos a correr en círculos con las manos sobre la cabeza.

Pero, en ese caso, no estaríamos teniendo en cuenta el concepto de velocidad terminal.

Cuando un objeto cae de una altura cualquiera, el aire empieza a chocar contra él. Cuanto más rápido se mueva el objeto, más rozamiento se producirá, hasta llegar al punto en que la fuerza de rozamiento contra el aire sea igual a la fuerza con la que el objeto cae. Es entonces cuando el sistema objeto-gravedad-aire llega al equilibrio: pese a que la gravedad terrestre intenta acelerar aún más el objeto, el rozamiento contra el aire es tan grande que no lo permite.

Dependiendo de la masa del objeto, su área y forma, esta velocidad máxima, llamada también velocidad terminal, será menor o mayor. Los seres humanos, por ejemplo, pueden caer a 195 km/h.  Por eso tanto da caer de 150 metros de altura que de 10.000. En los dos casos, el impacto contra el suelo se produce a la misma velocidad.

Calcularemos la velocidad terminal de la bala. Con un peso de 3 gramos, teniendo un área de unos 290 milímetros cuadrados (he asumido que la bala tiene forma cilíndrica para calcularla), un coeficiente de rozamiento de 0.295 y tomando la densidad del aire en condiciones normales, 1.4 kilogramos por metro cúbico, obtenemos una velocidad terminal de 22.17 m/s, unos 80 kilómetros por hora.

Además, tan sólo tardará 2.2 segundos en alcanzar esa velocidad, que equivalen a unos 25 metros de caída. Eso significa que durante los siguientes 4.975 metros, la bala no acelerará un sólo metro por segundo más y caerá al suelo a esa velocidad.

Un objeto de 3 gramos cayéndote sobre la cabeza a poco menos de 80 km/h no parece motivo suficiente como para empezar a correr como una nenaza asustada, lo que es bastante decepcionante.

Pero cada año muere gente a causa de balas caídas del cielo. Entre 1985 y 1992, en el hospital King/Drew Medical Center de Los Ángeles, se registraron 118 heridos por balas que habían caído del cielo, 38 de los cuales murieron.

En el mismo informe, explica que la velocidad mínima estimada para que una bala ocasione una fractura craneal es de 67 m/s, muy lejos de nuestros 22.17 m/s.

Pero, ¿no acababas de decirme que no pasa nada?

Bueno, no pasa nada si la bala es disparada con una trayectoria perfectamente perpendicular al suelo.

A la mínima que el cañón está un poco desviado respecto a la vertical, la bala adquiere velocidad horizontal. Me explico.

Dependiendo del ángulo del disparo, la bala describirá una parábola más o menos cerrada. Hemos tratado un disparo vertical, donde toda la energía de la bala se disipa hacia arriba. Pero, en la realidad, los disparos completamente verticales son un fenómeno impensable.

Cualquier bala disparada por un ser humano tendrá cierto ángulo con respecto al suelo. Cuanto más cerrado sea ese ángulo, más se parecerá la trayectoria de la bala a una línea recta horizontal. Con ángulos muy abiertos, la trayectoria tenderá a parecerse cada vez más a un disparo vertical.

La diferencia entre los dos casos, es la cantidad de energía que se transfiere en cada dirección. Mientras traza una parábola, un proyectil va agotando su velocidad vertical a medida que asciende, hasta que la pierde por completo al llegar al punto de máxima altura. En ese momento empieza a caer, pero quien la acelera hacia abajo es la fuerza de gravedad de terrestre, hasta alcanzar la velocidad terminal.

La velocidad horizontal es otra historia. Restando los efectos del rozamiento contra el aire, que a esta escala son despreciables, la velocidad horizontal se mantiene más o menos constante durante toda la trayectoria, así que, en teoría, una bala al caer sí que podría matar a una persona si es disparada en el ángulo correcto.

Es decir, que pese a que la velocidad terminal sea relativamente baja, una bala puede desplazarse horizontalmente mucho más rápido mientras cae.

Según el mismo informe de antes, una bala desplazándose a 200 pies por segundo (unos 67 m/s) es capaz de ocasionar una fractura de cráneo e incluso penetrar en el cerebro, pero el daño será mínimo si impacta contra cualquier otra parte del cuerpo, debido al efecto amortiguador del tejido muscular. Para velocidades de 600 pies por segundo (200 m/s), una bala puede ocasionar graves lesiones, independientemente de dónde impacte.

El factor que determina la velocidad horizontal es el ángulo con el que disparamos. Para ángulos muy abiertos respecto al suelo, la parábola será muy cerrada y casi toda la energía terminará disipándose en el eje vertical, por lo que la bala tendrá una velocidad horizontal muy baja y será prácticamente inofensiva.

Conociendo la velocidad inicial de 330 m/s, definiendo 67 m/s como la velocidad mínima para resultar herido y 200 m/s para recibir un daño considerable o morir, podemos deducir finalmente la letalidad de una bala en función del ángulo de disparo.

Dispara con moderación, Adalberto (78.5º)*.

*Ciencia de Sofá no se hace responsable del uso que hagan Adalberto u otros lectores de esta información.

30 pensamientos en “Respuestas I: Disparo vertical.”

  1. Una duda, ¿si se tiene en cuenta el rozamiento con el aire para el cálculo de la velocidad terminal, también se ha tenido en cuenta en la trayectoria de subida para ver que altura alcanza la bala?.

  2. No, no se ha tenido en cuenta. Debería haberlo señalado.

    La razón es que a esas velocidades y con un área de contacto tan pequeña, teniendo además en cuenta la baja densidad del aire (que encima se vuelve menos denso a medida que la bala asciende), el rozamiento con el aire se puede despreciar.

    Al fin y al cabo, lo que queremos calcular es la velocidad terminal que alcanza la bala al caer, de modo que no es relevante incluir la resistencia del aire para obtener una altura máxima un poco diferente. Al final la bala siempre caerá desde una posición de reposo (velocidad 0) y en unos pocos metros habrá alcanzado la velocidad terminal.

    ¿He respondido a tu pregunta?

    1. Sí, perfectamente. Muchas gracias.

      Por aportar una pequeña observación a la entrada, considerando despreciable la fuerza de rozamiento del aire, podemos calcular la altura máxima al igualar la energía cinética a la energía potencial, lo que nos da 5556m de altura prácticamente idéntico resultado.

  3. Gracias por la comprobación, me extrañaba que difirieran los dos métodos, por lo que he revisado el cálculo y a mí también me daba 5556 metros (concretamente 5556,119). No sé qué venazo me pegó con ese cero al final.

  4. Y si el experimento se realiza en una cámara de vacío,suponiendo que disponemos de una los suficientemente grande ,obviamente sin suprimir el factor gravedad ,qué sucedería? (Pregunta capciosa ante los ojos de muchos pero que vale la pena despejar)

  5. ¿Si la disparamos con ángulo de 90º caería en el cañón? Al ver el dibujo pensaba que lo aclararías y me he llevado una gran decepción al ver que no lo explicas. Gracias.

    1. Respondiendo a las dos preguntas (muy tarde, lo siento), en una cámara de vacío suficientemente grande la bala debería volver a caer exactamente en el mismo sitio (ya que no está sometida a la acción del viento o irregularidades atmosféricas), si suponemos que no se desvía en absoluto por alguna imperfección del cañón.

      Por otro lado, en una cámara de vacío no existiría velocidad terminal, así que la bala aceleraría al volver a caer durante todo el camino hasta el suelo. Al no tener un límite de velocidad, esto seguramente convertiría cualquier ángulo en un disparo letal.

      1. Considero que no caerá en el mismo sitio del lanzamiento inclusive si no hubiera viento; es más, sin aire ni irregularidades atmosféricas. Esto se debe a la fuerza de Coriolis, la cual va a actuar lateralmente sobre la bala.

  6. Hola a tod@s.
    Muy interesante el artículo asi como el resto de los artículos de esta página.
    La duda que yo tengo es relativa a la caída del proyectil siendo el disparo totalmente en ángulo de 90°..es decir, ¿volveria al cañón o no? ¿se tendría en cuenta el movimiento de la Tierra?
    Igual ya se ha comentado pero yo apenas tengo conocimientos físicos como para entender muchas de los cálculos aqui mencionados..

    Un saludo!

  7. Saludos, mi estimado Jordi!

    Me fijé en que el artículo, al calcular el rozamiento del aire, tomó en cuenta que la bala era cilíndrica (lo cual, al tener una cara plana, genera un rozamiento muy grande). Sin embargo, en una bala real, la punta se asemeja más a un cono, por lo que a mi parecer, la resistencia del aire sería mucho menor.

    Eso no haría que el “ángulo seguro” sea mucho más estrecho?

    Muchas gracias y felicidades por tu excelente blog.

  8. No soy matemático, pero si creo entender de armas, tampoco mucho ehh!! Pero algo me dice, que un 22 LR no sube a 5550 metros ni soñando.
    Es más, no creo que exista ningún proyectil disparado por armas personales y sin propulsión adicional después del disparo, que sea capaz de alcanzar esa altura, ni tan siquiera el .50 (12,7 mm) del M82 Barret. que en tiro tenso, tiene un alcance de 2500 metros. También es cierto que existe un fusil para caza más potente que el Barret, el .950 JDJ, un autentico monstruo de 20 Kg de peso y que gasta un calibre 24,1 mm (40 pavos de cartucho) y no sé su alcance. pero con un cartucho tan gordo, aumenta muchísimo la resistencia del aire y la atracción gravitatoria, con lo cual, seguramente no sobrepase en mucho al M82 Barret de francotirador.
    El 22 Long Rifle, más allá de 300 metros… no creo ni que te rompa la camisa.
    De todas formas, muy interesante el tema.
    Saludos

    1. Jajaja primero no es lo mismo el alcance horizontal de un arma, que la dan las especificaciones tecnicas, que el alcance que pueda tener una bala disparada verticalmente hacia arriba. Segundo, asumes que como un cartucho es mas gordo entonces aumenta la fuerza gravitatoria hacia el. Pues no hay que ser matematico, solo hay que haber asistido a clase de fisica de bachillerato o preparatoria, como la llames, lo cierto es q la aceleracion de la gravedad es igual para cualquier masa. Sabes, lo de la pluma y la bala de cañon que caen al mismo tiempo en el vacio.

      1. Pues llevas razón, pero eso no quita que el alcance en vertical sea, creo yo, inferior, y aunque no le afecte más la gravedad, si el rozamiento.
        Saludos

    2. NO ESO ES SOLO LA DISTANCIA RECOMENDADA MAXIMA PARA UN TIRO CERTERO
      PERO ESTAS LOCO UN CALIBRE 22 NO LLEGA A 300 METROS Y SE FRENA LEE BIEN LAS CAJAS Y TIENEN ADVERTENCIA DE SER PELIGROSAS A 2500 METROS

  9. No entiendo de armas ni de matematicas, pero como me parece poca velocidad de llegada. He releido el articulo y he hechaado aluno numero. El area del balin me sale de unos 25 mm cuadrados, unas once veces menos de lo 290 del articulo, y con esos numeros me sale una vvelocidad tgeminal dee 75.5 metros por segundo.

  10. Buenas tardes disculpen me podrían ayudar estoy elaborando una tarea donde dice que una bala se dispara desde el piso formando una trayectoria tipo parábola, donde su ecuación es y=-x2+5x-4, encontrar en que punto alcanzó su altura máxima, también determinar los puntos en donde fue lanzada, así como el punto en donde cayó y la verdad no le entiendo.

  11. Tengo un problema y no se como resolverlo:
    Una bala se dispara desde el piso formando una trayectoria tipo parábola, donde su ecuación es y = x2 + 5x -4.
    1 En que punto alcanza su altura maxima
    2 Determinar los putos donde fue lanzada
    3 En que punto cayo
    4 Como se llego a los resultados

  12. llegue aquí porque cuando suena un arma automática en mi barrio caen balas de cobre a gran velocidad rompiendo techos y entrando a casas, como los disparos son cerca, porque caen tan fuertes a mi casa? si las balas disparadas a 90 grados no son letales? pero lo mas importante es, cuanto se demoran en caer? no me gusta cubrirme la cabeza por mucho tiempo, de antemano gracias.

  13. Como militar e ingeniero que soy has metido la pata en muchas cosas:
    1 en el ascenso la resistencia cuadratica del aire te frena la bala.
    Fuera resi=1/2*ro*S.wet*V^2*Cd
    Ro densidad=(1-22,558*10-6*altura)^4.2559
    (estas ecuaciones joden todo lo k has calculado)
    S.wet es la superficie que se enfrenta a la corriente de aire incidente
    V^2 velocidad al cuadrado de ahí resistencia cuadratica:-|
    Cd es un coeficiente experimental será algo más peque que 1 ….0.9 pero no lo se bien.
    2.para hacer el cálculo tienes que integrar la densidad ro dentro de la ecuación de F.resi te queda un chorizo así F.r=1/2*integral(ro)entre h.alta y h.superficie*S.wet*.V^2*Cd
    Para resolver o con calculadoras potente o matlab, yo uso wolfranalfa
    2 la tierra es un sistema inercial…eso es que se mueve, existen fuerzas como la de coriolis que va hacer que la bala caiga bastante lejos de tu posición aunque dispares perfectamente vertical
    3 la gravedad no 9,8 ni de coña, yo la.he medido mediante un experimento ,período de oscilación de un péndulo y en.Madrid por la Latitud y la alura es 9,6

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