La ley de Benford

Pese a que el título de la entrada de hoy podría corresponder a una mala película de acción de Hollywood, realmente vamos a hablar de matemát… ¡No, quedáos, por favor! ¡Los números también pueden hacer cosas interesantes! ¡Mirad, un fósil de ammonite hecho de pirita (sulfuro de hierro)!

La ley de Benford enuncia que las primeras cifras de un conjunto de datos generados de manera natural (la población de varios países, la facturación mensual de de una empresa, la longitud de los ríos) aparecen con una frecuencia diferente.

Es decir, parece lógico suponer que si nos dan una lista de números cualquiera, habrá más o menos el mismo número de datos que empiecen por el número 1 que por el número 5 o el 7. Pero resulta que no es así.

Dígito  Porcentaje de apariciones como primer dígito en un conjunto de números Comparación gráfica
1 30.1%
2 17.6%
3 12.5%
4 9.7%
5 7.9%
6 6.7%
7 5.8%
8 5.1%
9 4.6%

Representado estos porcentajes en un gráfico más normal, nos queda esta figura.

Hemos hecho la prueba con el número de habitantes por país para los países que tienen de 10.000.000 de habitantes a 99.999.999 habitantes (en este enlace, de los puestos 12 a 87). El resultado es:

Puede verse la similitud con la distribución original de Benford.

Llevándolo un poco más al extremo, hemos intentado también a hacer lo mismo con la carpeta que usamos para guardar las imágenes que colgamos en nuestra página de Facebook y nos ha sorprendido que el tamaño de los archivos (en kilobytes) también sigue esta ley (juramos que no las habíamos descargado premeditadamente).

Podéis probarlo vosotros mismos en carpetas con muchos archivos. No hace falta hacer gráficos, basta con fijaros en si el 1 y el 2 aparecen muchas veces como primera cifra o no.

¿Y qué? ¡Esto no sirve para nada! ¡Está matemáticamente demostrado que las matemáticas no tienen ninguna aplicación práctica!

Agárrate los pantalones, porque este principio se utiliza para detectar el fraude fiscal.

Los ingresos y gastos de las empresas también tienden a seguir patrones de Benford de manera natural así que, cuando alguien empieza a embolsarse dinero de más intentando “que parezca que cada mes quede más o menos lo mismo” está cavando su propia tumba.

Por ejemplo, en la siguiente imagen aparecen los cheques ficticios que emitía el gerente de la Oficina del Tesoro de Arizona como gastos de la oficina para redireccionarlos hacia su bolsillo.

La cantidad de 7, 8 y 9 como primera cifra es alarmante. Unas facturas reales no tendrían esta forma.

No sólo eso, sino que la ley de Benford también ha sido usada para descubrir fraude electoral tanto en el estado de Florida en 2004, como en Venezuela el mismo año o en México en 2006.

¿Y por qué los números tienden a agruparse de esta manera cuando no están generados de manera artificial?

Hay casos en los que es relativamente obvio como, por ejemplo, los números de las calles. En una ciudad predominan las calles pequeñas en vez de las grandes avenidas, así que es normal que haya más números que empiecen por una cifra baja. Pero incluso las constantes físicas universales parecen seguir esta ley y, la verdad, eso sí que no lo entendemos muy bien.

7 pensamientos en “La ley de Benford”

  1. Hola a todos. Me gustaría corregir un dato:

    La Ley de Benford SÍ QUE TIENE EXPLICACIÓN

    Es una ley que se puede deducir matemáticamente y se cumple para cualquier sistema de numeración. Lo único es que hay que tener ciertas nociones matemáticas para poder entender la explicación. Si buscáis en google encontraréis algunas webs que ofrecen explicaciones (unas más rigurosas que otras), aunque también podéis preguntarle a un matemático que sepa cosas de logaritmos y de probabilidad 😉

    Un saludo!

  2. El primer dígito significativo no es lo único a tener en cuenta. La ley de Benford nos permite derivar leyes para el segundo dígito y también para los terceros y así sucesivamente. Solo hay que pensar en qué uniones de intervalos debe encontrarse la mantisa(diferencia entre un número y su parte entera) de un número para que su segundo (o tercer o cuarto, etc.) dígito significativo sea el primer dígito significativo de un número positivo. Parece un juego de palabras pero ese es el método que usan algunos contadores para hacer que sus libros de contabilidad siga un patrón y de esta forma encubrir sus fraudes.

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