¿Por qué el tiempo pasa más despacio cerca de un agujero negro? Caso “Interstellar”

Hace poco vi la película Interstellar y la verdad es que me encantó, aunque personalmente creo que marearon demasiado la perdiz al final (esto no cuenta como spoiler, ¿no?, la película no acaba con Matthew McConaughey mareando una perdiz literalmente).

La cuestión es que hace más de un mes escribí dos entradas hablando sobre la teoría de la relatividad especial o, lo que es lo mismo, cómo alguien que viaja a velocidades cercanas a las de la luz percibe el tiempo y las distancias de manera distinta a alguien que está quieto. En este artículo explicaba cómo el transcurso del tiempo se ve afectado por la velocidad a la que te desplazas y en este otro qué ocurre con el espacio y la masa. Recomendaría la lectura de los dos para entender mejor lo que vendrá a continuación, aunque no es imprescindible.

Me faltaba hablar sobre cómo la propia gravedad afecta al transcurso del tiempoInterstellar me daba la excusa perfecta para hacerlo: como se puede ver en la película, el tiempo pasa más despacio cerca de objetos muy masivos. Hoy vengo a explicar por qué ocurre este fenómeno.

Esta entrada está motivada por una escena que me resultó especialmente impactante. Como no puedo ser muy concreto para no hacer spoilers, he hecho estos dibujos para que los que habéis visto la película sepáis de qué momento estoy hablando y, con suerte, los que no la habéis visto no os enteraréis muy bien de lo que pasa.

Si no habéis leído las entradas anteriores sobre la relatividad, vamos a ponernos en contexto un momento: basándose en que la velocidad de la luz es constante, Albert Einstein postuló que dos observadores que viajan a velocidades distintas ven un mismo rayo de luz desplazándose a la misma velocidad, independientemente de la suya propia. Ésto sólo puede ocurrir si cada observador percibe el transcurso del tiempo de manera distinta. Por muy contraintuitiva que parezca la idea, Einstein tenía razón.

Después de este triunfo, al que llamó relatividad especial, Einstein empezó a trabajar en la relatividad general, que básicamente era la versión moderna y mejorada de las leyes de la gravedad formuladas por Isaac Newton. Cuando su trabajo estuvo listo, llegó a la conclusión de que un reloj debería marcar el paso del tiempo más lentamente si se encuentra sometido a una fuerza gravitatoria mayor que uno sujeto a una fuerza gravitatoria menor. Y en esto acertó también.

Pero como no me gusta dejarlo ahí y quedarme tan ancho, vamos a ver cómo hizo Einstein (con un poco de ayuda) para llegar a esta conclusión e intentaremos entender este fenómeno.

En primer lugar, Einstein se dio cuenta de que la gravedad se comporta como una aceleración. Podemos darnos cuenta de ello con un experimento mental.

Imaginemos que estamos sobre una plataforma en medio del espacio, suficientemente alejados de otros planetas y estrellas como para que sus campos gravitatorios no nos afecten. Sin ninguna fuerza que nos mantenga pegados a la plataforma, podríamos movernos en la dirección que nos dé la gana sin esfuerzo.

Bueno, en realidad no nos moveríamos demasiado.

Ahora imaginemos que debajo de la plataforma hay unos propulsores que empiezan a acelerarla hacia arriba (o “en el eje vertical”, si queréis ser más quisquillosos) a un ritmo de 10 metros por segundo cada segundo. La plataforma choca contra nosotros e igualamos su velocidad, pero al segundo siguiente vuelve a ser 10 m/s más alta que la nuestra. Como nosotros siempre estaremos rezagados respecto a este cambio constante de velocidad, dejaremos de flotar y quedaremos pegados contra la plataforma.

Espero haber usado suficientes flechas.

Y aquí viene el primer planteamiento de Einstein: si nos vendaran los ojos y nos pusieran en cualquiera de las dos situaciones, no podríamos notar la diferencia entre estar sobre la superficie de un planeta o sobre la plataforma en constante aceleración. Podemos caminar sobre ella, saltar, rodar por el suelo o hacer flexiones y nuestro cuerpo estará siendo aplastado contra la plataforma en la misma medida en la que la Tierra nos atrae hacia sí. Por tanto, Einstein concluye que las dos situaciones son equivalentes.

Vale, veo que las situaciones puedan parecer iguales, pero, si la superficie de la Tierra no está siendo acelerada a la vez en todas direcciones, ¿Qué es lo que nos mantiene pegados al suelo?

Esta misma pregunta ha tenido intrigados a los físicos durante miles de años. Literalmente.

La palabra gravedad viene del griego gravitas, que significa pesadez. Aristóteles ya había intentado responder a la pregunta de por qué las todo cae hacia el suelo. Decía que las cosas pesadas (como el elemento tierra) caen debido a que su propia naturaleza los obligaba a moverse hacia el centro del universo, el lugar que tienden a ocupar de manera natural. En el caso opuesto, las cosas ligeras como el elemento fuego tendían a escapar hacia la superficie de la Luna.

En el siglo XVII, a Isaac Newton se le ocurrió pensar la influencia de la gravedad no sólo llega hasta las copas de los árboles, sino que se extiende hacia el cielo y rige los movimientos de los cuerpos celestes. Newton veía la gravedad como una fuerza atractiva que aparece entre dos objetos y, pese a que los resultados de sus fórmulas no eran del todo correctos, se ajustaban tanto a la realidad que en aquella época era muy difícil darse cuenta de que algo fallaba.

Aunque no fueran la solución exacta, sus fórmulas ayudaron a comprender cómo funcionaba la gravedad, lo que revolucionó el estudio de las órbitas de los planetas y nos ayudó a hacernos una mejor idea de cómo funciona el universo pero, aunque se entendía cómo actuaba la gravedad, nadie sabía qué la causaba.

Para resolver este enigma hubo que esperar hasta principios del siglo XX, cuando Albert Einstein propuso que el origen de la gravedad puede explicarse si se considera esta como una deformación del propio espacio.

Aquí entra la típica analogía que todos habréis escuchado alguna vez en la que se coloca una bola más o menos pesada sobre una malla elástica y, debido a su masa, ésta forma una depresión en ella. Si hacemos rodar pelotas más ligeras por la malla, podremos ver cómo sus caminos se desvían al interaccionar con la zona hundida formada por la bola más grande y algunas incluso se precipitarán al fondo de la depresión.

Crédito: Clear Science.

Este ejemplo da una idea a lo que origina la gravedad según Einstein, donde el tamaño y la profundidad de la depresión creada por una bola en la malla representarían la intensidad del campo gravitatorio de una objeto masivo en el espacio.

En el siguiente vídeo está muy bien demostrado el efecto con una malla y unas cuantas pelotas.

Hay que tener en cuenta que en el espacio real no hay fricción, así que en él las “pelotas” (los planetas) no pierden velocidad mientras recorren la “malla” (el propio espacio) y quedan atrapados dando vueltas en las depresiones formadas en el espacio por las estrellas. Y eso serían sus órbitas.

Por otro lado, el ejemplo no es del todo preciso porque el espacio no es una malla bidimensional. Vivimos en un espacio tridimensional, así que la perturbación del espacio provocada por un cuerpo se produce en cuatro dimensiones y no se puede visualizar simplemente como una depresión sobre un plano. La deformación hecha por una masa sobre el espacio tridimensional sería, más o menos, algo así:

Esta nueva manera de enfocar la gravedad incluía una sorpresa extra.

La gravedad entendida como una fuerza no debería tener ningún efecto sobre la luz porque los fotones no tienen masa y, por tanto, entre un rayo de luz y otro objeto no podría aparecer una fuerza que “tirara” de ellos y desviara el rayo. Si la gravedad era realmente una perturbación en el espacio, en cambio, un rayo de luz que se desplaza por el espacio curvado no tiene más remedio que seguir el camino deformado que se le presenta y por tanto deberíamos ver desviaciones de la luz en la presencia de campos gravitatorios especialmente fuertes.

Se puede llegar a la misma conclusión mediante el mismo principio de equivalencia que hemos usado antes. Volvemos a la plataforma que está acelerando en medio del espacio, le ponemos paredes y ventanas e imaginamos que un rayo de luz cruza la plataforma de un lado a otro. El rayo entra por una ventana en línea recta pero, como la plataforma se está moviendo hacia arriba mientras el rayo la atraviesa, saldrá por la ventana opuesta a través de un punto más bajo que el que ha usado para entrar. Para nosotros, el rayo de luz habrá descrito una curva en vez de un camino recto.

Como la situación es equivalente para la gravedad, entonces la luz debería curvarse de manera parecida ante un campo gravitatorio.

De cualquier manera, a principios del siglo XX existía la posibilidad de comprobar si la gravedad era una fuerza o, como defendía Einstein, de una perturbación en el espacio. Bastaba con observar si la luz se desviaba al atravesar de el campo gravitatorio de algún objeto masivo. El problema es que sin un campo gravitatorio muy fuerte la desviación que sufre un rayo de luz resulta inapreciable.

El sol era un buen candidato para hacer este experimento, ya que tiene masa suficiente como para desviar perceptiblemente la luz de las estrellas que tiene detrás. Pero, claro, el sol es tan brillante que tapa cualquier estrella del cielo, así que en condiciones normales este experimento era irrealizable.

Por suerte para Einstein, cuatro años después de formular su teoría, en 1919, se produjo un eclipse solar total que fue visible desde Brasil hasta la costa atlántica africana. Si el físico estaba en lo cierto, durante el eclipse el cielo se oscurecería lo suficiente como para medir si las posiciones de las estrellas que deberían encontrarse detrás o alrededor del disco solar habían cambiado a causa de la desviación de su luz al atravesar el campo gravitatorio del sol.

(Fuente)

Otro físico, Sir Frank Watson Dyson, diseñó el experimento. Mandó dos expediciones (por si el día del eclipse en una de ellas se encontraba con un día nublado), una a la isla de Príncipe en el golfo africano y otra a Brasil. El eclipse se iba a producir en mayo, así que en enero y febrero los astrónomos midieron las posiciones de las estrellas para calcular dónde deberían estar el día del eclipse a la hora a la que la Luna taparía el disco solar.

Cuando llegó el día, los astrónomos tomaron fotos durante los 6 minutos que duró el eclipse y se las llevaron a casa para analizar las posiciones de las estrellas. En noviembre de ese mismo año concluyeron que, en efecto, su luz había sido desviada por el campo gravitatorio del sol. Einstein tenía razón: vivimos en un espacio que la masa puede curvar.

Recordemos que esto ocurrió a principios de siglo. Con la mejora de los telescopios, hemos podido observar el mismo fenómeno a una escala muchísimo mayor cuando la luz de galaxias lejanas es curvada por la gran fuerza gravitatoria de otras galaxias que se interponen entre nosotros y ellas. Estas cosas se llaman lentes gravitacionales.

Crédito: NASA/Hubble.

Vale, la gravedad dobla el espacio y afecta a la luz… Pero aún no me has explicado por qué un campo gravitatorio más intenso nos hace envejecer más despacio.

A eso voy, pero todo este contexto era necesario. Volvemos unos años atrás en el tiempo.

En 1907, el matemático Hermann Minkowski, profesor de Einstein, tomó la teoría en la que estaba trabajando su alumno y, tras expresarla matemáticamente, descubrió que tan sólo podía tener sentido si el espacio y el tiempo eran tratados como una misma entidad y no como dimensiones separadas.

Al principio, Einstein reaccionó diciendo que esto no era más que un truco matemático, una curiosidad. Pero en 1915 se dio cuenta de que no podía desarrollar la teoría de la relatividad general sin tenerlo en cuenta.

Después de fusionar el espacio y el tiempo en su teoría y pasar tres años aprendiendo las matemáticas necesarias para desarrollar las ecuaciones, una vez más se encontraron pruebas de que estaba en lo cierto.

Por aquel entonces, las ecuaciones desarrolladas por Isaac Newton funcionaban estupendamente para modelar y predecir las órbitas de los planetas de sistema solar… Excepto para uno: Mercurio, el más cercano al sol. El problema era el siguiente.

Cuando se sigue su movimiento durante siglos, se puede ver que la órbita de Mercurio alrededor del sol va desplazándose poco a poco, a un ritmo de 2º cada siglo, siguiendo el patrón de este dibujo.

(Fuente)

Cuando se usan las ecuaciones de Newton para predecir qué ángulo debería variar la órbita del planeta entre un año y otro, el valor obtenido no se ajusta al observado a la realidad. Como nos fiamos más de las observaciones que de lo que nos dicen los números, eso significaba que algo fallaba en las ecuaciones.

Cuando Einstein acabó de plantear su teoría, utilizó sus ecuaciones para predecir la órbita de Mercurio y comprobó que sus resultados se ajustaban perfectamente a las observaciones. Las ecuaciones de Newton eran aproximaciones suficientemente buenas como para que, a largas distancias, el error cometido no fuera perceptible. Pero Mercurio está muy cerca del sol y, a esas distancias, la deformación del propio espacio-tiempo entra en juego, invalidando el planteamiento de Newton. Así que Einstein volvía a tener razón.

Ahora que conocemos el planteamiento de Einstein y hemos visto que sus teoría se ajusta a la realidad, recapitulemos para ver de una vez por todas por qué el tiempo pasa más rápido bajo la influencia de campos gravitatorios intensos.

Hemos visto que la depresión provocada en el tejido del espacio por un cuerpo masivo no sólo afecta al movimiento de los objetos que se cruzan con ella, sino también a la luz. Las ecuaciones de Einstein dejan claro, además, que el tiempo y el espacio son la misma cosa y que la deformación del primero también altera al segundo.

Entonces sólo queda preguntarse, ¿Qué es lo que causa que el tiempo se deforme?

Y aquí es donde entra de nuevo la velocidad de la luz, como buena constante universal que es. Vuelven los experimentos mentales.

Estamos en  medio del campo por la noche y apuntamos un láser en vertical hacia el cielo. La fuerza gravitatoria de la Tierra tirará del rayo de luz hacia la superficie o, más correctamente, el rayo de luz deberá escalar por las “paredes” de la depresión tridimensional provocada en el espacio-tiempo por nuestro planeta y perderá energía durante el proceso.

Si lanzamos una piedra al aire, la gravedad la ralentiza a media que gana altura hasta que le roba toda la energía que le habíamos impartido al tirarla. Ese es el momento en el vuelo de la piedra se detiene y vuelve a caer al suelo. Pero la velocidad de la luz es una constante inalterable, así que, por mucho que la Tierra se oponga, el rayo de luz del láser seguirá escapando a la misma velocidad (casi 300.000 km/s). Si esta pérdida de energía no puede manifestarse ralentizando el haz de luz, ¿Por dónde está escapando la energía del sistema?

La única manera que la luz tiene de perder energía es alargando su longitud de onda. Es decir, que un rayo de luz proyectado hacia el cielo desde la superficie terrestre será “estirado” por la gravedad de la Tierra e irá aumentando su longitud de onda a medida que se aleja de nosotros.

Los valores numéricos que daré a continuación están inventados para que sea más fácil de visualizar, pero la esencia de la explicación es la misma.

Imaginemos que colocamos dos cronómetros idénticos junto al haz de luz: uno de ellos en la superficie terrestre y el otro a 50 kilómetros del altura. Estos dispositivos tienen una precisión de nanosegundos (milmillonésimas de segundo).

Supongamos que la luz sale del láser con una longitud de onda inicial de 30 centímetros, lo que significa que a la salida del láser habrá una distancia de 30 centímetros entre cada pico de la onda. Como la luz viaja a casi 300.000 kilómetros por segundo, en un nanosegundo cada pico de la onda se habrá desplazado 30 centímetros y un pico nuevo habrá salido del láser.

De esta manera, el cronómetro que está situado junto al láser mide que cada nanosegundo aparece un nuevo pico de la onda.

Ahora tomamos el segundo cronómetro y nos montamos en un ascensor muy complejo que hemos construido para hacer este experimento. Subimos hasta los 50 kilómetros de altura y nos encontramos con nuestro rayo de luz estirado por la gravedad. Medimos su longitud de onda y vemos que la distancia de 30 centímetros que había entre dos picos de la onda a la salida del láser se ha estirado hasta los 90 centímetros debido a la distorsión espacio-temporal generada por nuestro planeta. Como la onda es el triple de larga, entonces deberían transcurrir 3 nanosegundos entre cada pico de la onda… ¿No?

Pues no: al mirar el cronómetro, vemos que el tiempo que pasa entre cada pico sigue siendo el mismo, un nanosegundo. Aunque parezca contraintuitivo al principio, tiene sentido: las ondas que llegan a la estratosfera son las mismas ondas emitidas por el láser así que, pese a que van estirándose durante el camino, conservan el ritmo con el que salen del láser, de un nanosegundo entre cada pico.

Si las distancias medidas son distintas y la velocidad de la luz es constante, pero aún así el tiempo que tarda la luz en cubrir esa distancia es el mismo, sólo hay una manera de explicar esta experiencia: el tiempo transcurre a un ritmo distinto para la persona que observa cada situación.

De la misma manera que cuando vamos en coche por la carretera no nos parece que se muevan los vehículos que van a la misma velocidad que nosotros, cuando nos encontramos a la misma altura que el cronómetro no veremos el tiempo pasar a un ritmo distinto porque los dos estaremos sintiendo la misma atracción gravitatoria.

Es decir: en la superficie terrestre, tanto tu reloj como tú estáis sometidos a la misma curvatura del espacio-tiempo, así que los dos notáis cómo el tiempo transcurre al mismo ritmo. En la estratosfera la curvatura del espacio-tiempo es menor, pero los dos estáis metidos en ella, así que el efecto es el mismo.

Pero en el momento que tomemos unos prismáticos desde el suelo y miremos el cronómetro que está en la estratosfera, veremos que sus agujas marcan el tiempo 3 veces más rápido que las nuestras. En la situación inversa, si desde la estratosfera miramos el cronómetro que está en el suelo, veremos que mide el tiempo a un ritmo 3 veces más lento que el nuestro.

[SPOILER]: Eso es precisamente lo que pasa en la escena de Interestellar que he comentado al principio. Los que bajan al planeta que da vueltas alrededor de un agujero negro (que, por cierto, no se me ocurre un planeta habitable peor para mudarnos) están sometidos a una distorsión espacio-temporal inmensa, mientras que el tipo que se queda esperando en el satélite está suficientemente lejos para no notarla. Por tanto, el tiempo para los que están en el planeta pasa extremadamente despacio comparado con el que nota el tipo que está en órbita. Por eso, cuando todos se reúnen de nuevo, los que han bajado al planeta no han envejecido mientras que el señor del satélite está hecho un carcamal.

Si, bueno, aprecio el esfuerzo y tal… Pero todo esto es bastante difícil de creer. ¿Hay alguna prueba de que este fenómeno ocurre en la vida real o son más historias teóricas que nadie ha demostrado?

Sí. De hecho, hay muchas.

Una de ellas es el experimento Hafele-Keating, de 1971, en el que se cargaron cuatro relojes atómicos en cuatro aviones que darían la vuelta al mundo dos veces. Se predijo que, debido no sólo a su velocidad, sino también a la altura a la que viajaban, los relojes que se desplazaran hacia el este se adelantarían 40 nanosegundos y los que lo iban al oeste lo harían 275 nanosegundos. Cuando los aviones aterrizaron, se comprobó si sus predicciones se ajustaban al adelanto que habían sufrido en realidad y, en efecto, los resultados fueron favorables.

La gravedad y el tiempo, por tanto, pueden representarse así:

Dicho sea de paso, ¿Recordáis que en la primera entrada sobre la relatividad había comentado que, debido a la tremenda velocidad de los satélites, sus relojes se adelantan cada día un poco respecto a los nuestros? Bueno, pues esa no era toda la historia.

Al encontrarse a 20.000 kilómetros por encima de la superficie terrestre, la fuerza gravitatoria que actúa sobre los satélites es 17 veces menor que la que experimentamos sobre la superficie terrestre. Por este motivo, los relojes internos de los satélites de GPS se adelantan 38 microsegundos cada día respecto a los nuestros (se adelantan 45 microsegundos debido a su altura y se atrasan 7 microsegundos a causa de su velocidad).

Si los dispositivos de GPS no tuvieran estas correcciones en cuenta, las indicaciones que nos dan nos mandarían muy lejos del lugar al que queremos ir. Como ya había comentado, si no se corrigieran las señales para incluir los efectos relativistas, todo el sistema de GPS perdería su validez sólo 2 minutos después de entrar en funcionamiento.

Y, por fin, aquí termina la entrada de hoy. Espero que os haya ayudado a disfrutar más de la película.

 

 

Ahora, si me lo permitís un momento, vuelve la publicidad no invasiva de Ciencia de Sofá.

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