Ivan Manko nos pregunta esta semana algo que le lleva atormentando desde primaria:
¿Cual es la probabilidad de beberme dos veces una misma molécula de agua? Por todo el ciclo del agua y esas cosas.
En primer lugar, esta entrada no da pie a colgar muchas fotos, así que para compensaros colgamos esta imagen de un perro comiendo un helado y sintiendo el frío en la cabeza.
En segundo lugar, resolvemos la incógnita.
Nuestro cuerpo toma agua del medio constantemente (cuando respiramos, entra vapor de agua en nuestros pulmones) de la misma manera que también la libera sin parar a través del sudor (no nos referimos al sudor de nivel de ronchas en los sobacos, todos estamos constantemente exudando pequeñas cantidades de humedad), la respiración o de nuestras propias lágrimas. Por tanto, en las siguientes situaciones estás volviendo a ingerir no una, sino probablemente miles de moléculas de agua que ya habían estado antes en tu cuerpo.
1) Estás comiendo algo con las manos, y unas cuantas moléculas de sudor transpiradas por tus poros acaban en tu bocadillo y te las comes. Acabas de consumir las mismas moléculas de agua que en algún punto habías asimilado.
2) Estás en tu habitación encerrado leyendo cada una de las entradas de Ciencia de Sofá, y llevas suficiente rato como para que la humedad del aire de tu respiración se quede flotando en el aire y vuelvas a inhalarla.
3) Las lágrimas de emoción que salen de vuestros ojos al terminar de leer esta entrada resbalan por vuestras mejillas y algunas llegan a vuestros labios.
Como vemos, a nivel local estamos constantemente absorbiendo las mismas moléculas de agua. Podríamos decir eso, terminar aquí la entrada y quedarnos tan panchos habiendo resuelto el problema. Pero, como no estamos hablando técnicamente de beber, no los consideramos válidos.
Lo que sugiere Ivan es, en realidad, lo mismo que calculábamos cuando hablábamos del problema del cumpleaños, sólo que con unos números enormes.
Os dejo unos minutos para que leáis la entrada. Esto azul subrayado es un hipervínculo y, si haces click encima, se abre una nueva página que lleva a la web a la que me refiero. Lo comento porque recientemente me han dicho que no ponemos fuentes en nuestros artículos.
Mientras lo leéis, os dejamos una segunda imagen desvinculada del tema que nos ocupa.
¿Ya habéis vuelto? Bien.
Si nos habéis tomado por el pito del sereno y no habéis leído la otra entrada (muy probable), la paradoja del cumpleaños plantea qué probabilidad hay de que, entre los componentes de un grupo de personas, dos miembros cumplan años el mismo día. El resultado del experimento es lógico, pero contraintuitivo y muy curioso.
Para calcular la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día, calculamos primero la probabilidad de que NO los cumplan el mismo día y asumimos el contrario. Si la primera persona ha nacido el 3 de Julio, por ejemplo, la otra tiene que haber nacido en cualquier otro de los 364 días del año. Por tanto:
La probabilidad de dos personas NO cumplan años el mismo día es de 364/365=99.73%. Por tanto, la probablidad de que SÍ lo hagan es del 0.27%.
Para un grupo de tres personas, no sólo los dos primeros tendrán que haber nacido en días distintos, sino que la tercera persona tampoco podrá haber nacido uno de esos dos días, así que:
Probabilidad de que tres personas no cumplan años el mismo día: (364/365)*(363/365) = 99.18% y la probabilidad de que sí que cumplan años el mismo día será del 0.82%.
Vemos que, con respecto al caso en el que tenemos sólo dos personas, la probabilidad se ha triplicado. Y cuanto más gente haya en el grupo, más rápido aumenta. Lo curioso es que en un grupo de 23 personas la probabilidad de que dos de ellas compartan cumpleaños es del 50% y, en uno de 57 personas, es del 99%.
Como ya hemos dicho, la pregunta que plantea Ivan es exactamente el mismo caso, pero con números tremendamente grandes.
Un litro de agua contiene 5.55 moles de agua, y un mol de agua contiene 6.023*10^23 moléculas. Por tanto, un litro de agua hay 3.46*10^24 moléculas. Si nos fiamos de la estimación en cuanto al volumen de agua terrestre ofrecido por el Servicio Geológico de los Estados Unidos, hay unas 5*10^46 moléculas de agua en la Tierra. Y, si seguimos los consejos de los médicos y suponiendo que vivamos 80 años, a lo largo de nuestra vida beberemos 3*10^29 moléculas de agua.
Aclaramos que 4.8*10^46 equivale a 48000000000000000000000000000000000000000000000, o 4.8 seguido de 45 ceros. De manera análoga, 3*10^29 será 3 seguido de 29 ceros. Hablamos de números muy, muy grandes.
Procedamos a calcular la probabilidad de bebernos dos veces la misma molécula de agua.
Tomemos una sola molécula de agua como referencia. La probabilidad de no volver a bebérnosla después de mandarla por el váter será:
Lo que es prácticamente el 100%.
Con dos moléculas de agua, la probabilidad de no beber ni una ni la otra sería de
Que sigue siendo prácticamente del 100%.
Está claro que con números tan descomunales no vamos a llegar a ningún lado, así que recurrimos a una función que nos ayudará a aproximar el resultado,
donde,
p es la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua
n es el número de de moléculas de agua que vas a beber a lo largo de tu vida
m es el número de átomos de agua en el planeta.
Sustituyendo nuestros valores, encontramos que la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua a lo largo de nuestra vida es p=1, lo que significa que es del 100%.
En realidad, es un número increíblemente próximo al 100, pero tiene tantos decimales que la calculadora (y probablemente cualquier ordenador corriente) es incapaz de representarlos y asumen directamente que 99.99999…(millones de nueves)…9999 y 100 están suficientemente cerca como para considerarse la misma cifra.
De todas maneras, la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua es aún mayor (entendida como que añadiríamos incluso más nueves a 99.99999999…) ya que, por mucho ciclo del agua que tengamos en mente, gran parte del agua de la Tierra ni siquiera llegará a cruzarse con nosotros durante nuestra vida. Es el caso del agua del fondo de las fosas más profundas de la Tierra o de la que está permanentemente congelada en los polos, por ejemplo.
>Así que, probablemente, el número de moléculas de agua que bebemos dos veces a lo largo de nuestra vida supera los millones. O billones. O incluso más, no tenemos manera de aproximarlo.
Lo que sí sabemos es que variará de persona a persona.
La probabilidad de que Bear Grylls beba la misma molécula de agua dos veces es del 500%.
