Ivan Manko nos pregunta esta semana algo que le lleva atormentando desde primaria:
¿Cual es la probabilidad de beberme dos veces una misma molécula de agua? Por todo el ciclo del agua y esas cosas.
En primer lugar, esta entrada no da pie a colgar muchas fotos, así que para compensaros colgamos esta imagen de un perro comiendo un helado y sintiendo el frío en la cabeza.
En segundo lugar, resolvemos la incógnita.
Nuestro cuerpo toma agua del medio constantemente (cuando respiramos, entra vapor de agua en nuestros pulmones) de la misma manera que también la libera sin parar a través del sudor (no nos referimos al sudor de nivel de ronchas en los sobacos, todos estamos constantemente exudando pequeñas cantidades de humedad), la respiración o de nuestras propias lágrimas. Por tanto, en las siguientes situaciones estás volviendo a ingerir no una, sino probablemente miles de moléculas de agua que ya habían estado antes en tu cuerpo.
1) Estás comiendo algo con las manos, y unas cuantas moléculas de sudor transpiradas por tus poros acaban en tu bocadillo y te las comes. Acabas de consumir las mismas moléculas de agua que en algún punto habías asimilado.
2) Estás en tu habitación encerrado leyendo cada una de las entradas de Ciencia de Sofá, y llevas suficiente rato como para que la humedad del aire de tu respiración se quede flotando en el aire y vuelvas a inhalarla.
3) Las lágrimas de emoción que salen de vuestros ojos al terminar de leer esta entrada resbalan por vuestras mejillas y algunas llegan a vuestros labios.
Como vemos, a nivel local estamos constantemente absorbiendo las mismas moléculas de agua. Podríamos decir eso, terminar aquí la entrada y quedarnos tan panchos habiendo resuelto el problema. Pero, como no estamos hablando técnicamente de beber, no los consideramos válidos.
Lo que sugiere Ivan es, en realidad, lo mismo que calculábamos cuando hablábamos del problema del cumpleaños, sólo que con unos números enormes.
Os dejo unos minutos para que leáis la entrada. Esto azul subrayado es un hipervínculo y, si haces click encima, se abre una nueva página que lleva a la web a la que me refiero. Lo comento porque recientemente me han dicho que no ponemos fuentes en nuestros artículos.
Mientras lo leéis, os dejamos una segunda imagen desvinculada del tema que nos ocupa.
¿Ya habéis vuelto? Bien.
Si nos habéis tomado por el pito del sereno y no habéis leído la otra entrada (muy probable), la paradoja del cumpleaños plantea qué probabilidad hay de que, entre los componentes de un grupo de personas, dos miembros cumplan años el mismo día. El resultado del experimento es lógico, pero contraintuitivo y muy curioso.
Para calcular la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día, calculamos primero la probabilidad de que NO los cumplan el mismo día y asumimos el contrario. Si la primera persona ha nacido el 3 de Julio, por ejemplo, la otra tiene que haber nacido en cualquier otro de los 364 días del año. Por tanto:
La probabilidad de dos personas NO cumplan años el mismo día es de 364/365=99.73%. Por tanto, la probablidad de que SÍ lo hagan es del 0.27%.
Para un grupo de tres personas, no sólo los dos primeros tendrán que haber nacido en días distintos, sino que la tercera persona tampoco podrá haber nacido uno de esos dos días, así que:
Probabilidad de que tres personas no cumplan años el mismo día: (364/365)*(363/365) = 99.18% y la probabilidad de que sí que cumplan años el mismo día será del 0.82%.
Vemos que, con respecto al caso en el que tenemos sólo dos personas, la probabilidad se ha triplicado. Y cuanto más gente haya en el grupo, más rápido aumenta. Lo curioso es que en un grupo de 23 personas la probabilidad de que dos de ellas compartan cumpleaños es del 50% y, en uno de 57 personas, es del 99%.
Como ya hemos dicho, la pregunta que plantea Ivan es exactamente el mismo caso, pero con números tremendamente grandes.
Un litro de agua contiene 5.55 moles de agua, y un mol de agua contiene 6.023*10^23 moléculas. Por tanto, un litro de agua hay 3.46*10^24 moléculas. Si nos fiamos de la estimación en cuanto al volumen de agua terrestre ofrecido por el Servicio Geológico de los Estados Unidos, hay unas 5*10^46 moléculas de agua en la Tierra. Y, si seguimos los consejos de los médicos y suponiendo que vivamos 80 años, a lo largo de nuestra vida beberemos 3*10^29 moléculas de agua.
Aclaramos que 4.8*10^46 equivale a 48000000000000000000000000000000000000000000000, o 4.8 seguido de 45 ceros. De manera análoga, 3*10^29 será 3 seguido de 29 ceros. Hablamos de números muy, muy grandes.
Procedamos a calcular la probabilidad de bebernos dos veces la misma molécula de agua.
Tomemos una sola molécula de agua como referencia. La probabilidad de no volver a bebérnosla después de mandarla por el váter será:
Lo que es prácticamente el 100%.
Con dos moléculas de agua, la probabilidad de no beber ni una ni la otra sería de
Que sigue siendo prácticamente del 100%.
Está claro que con números tan descomunales no vamos a llegar a ningún lado, así que recurrimos a una función que nos ayudará a aproximar el resultado,
donde,
p es la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua
n es el número de de moléculas de agua que vas a beber a lo largo de tu vida
m es el número de átomos de agua en el planeta.
Sustituyendo nuestros valores, encontramos que la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua a lo largo de nuestra vida es p=1, lo que significa que es del 100%.
En realidad, es un número increíblemente próximo al 100, pero tiene tantos decimales que la calculadora (y probablemente cualquier ordenador corriente) es incapaz de representarlos y asumen directamente que 99.99999…(millones de nueves)…9999 y 100 están suficientemente cerca como para considerarse la misma cifra.
De todas maneras, la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua es aún mayor (entendida como que añadiríamos incluso más nueves a 99.99999999…) ya que, por mucho ciclo del agua que tengamos en mente, gran parte del agua de la Tierra ni siquiera llegará a cruzarse con nosotros durante nuestra vida. Es el caso del agua del fondo de las fosas más profundas de la Tierra o de la que está permanentemente congelada en los polos, por ejemplo.
>Así que, probablemente, el número de moléculas de agua que bebemos dos veces a lo largo de nuestra vida supera los millones. O billones. O incluso más, no tenemos manera de aproximarlo.
Lo que sí sabemos es que variará de persona a persona.
La probabilidad de que Bear Grylls beba la misma molécula de agua dos veces es del 500%.
13 comentarios
Se puede utilizar el mismo cálculo para poner en jaque a Heráclito, a su «panta rhei» y lo de bañarse dos veces en un mismo río.
Íbamos a usar esa referencia para terminar la entrada, pero al final nos ha podido la escatología.
Quizá me equivoco, pero por lo leído creo que se parte de la base de que esa molécula que seguimos no reaccionará en ningún momento con nada, ni se separará en iones H+ y OH- , o sus elementos … ¿no?.
Es que si tenemos en cuenta eso, creo que las posibilidades de que justo los mismos tres átomos vuelvan a formar una molécula de agua y la vuelvas a beber será sensiblemente menor, ¿no?. ¿O me equivoco mucho y no afectaría al problema?
Para nada te equivocas. Pero no afectaría el problema, porque la proporción de agua que se separa por sí sola en un volumen cualquiera es muy pequeña.
Su constante de disociación es de 10^-14, o sea, que tan sólo una molécula de cada 100 billones va a separarse en H+ y OH- por sí misma.
Gracias por la observación.
¿Puedes explicar el desarrollo un poco más?.
No tengo claro que se pueda usar el mismo algoritmo que en el problema del cumpleaños (y por tanto la aproximación de Taylor), puesto que en aquel caso era que cualquiera dos personas del grupo NO cumpliesen año el mismo día, y en este caso es sólamente 1 (molecula ingerida) el que no debe coincidir con el resto del grupo (agua del mundo).
Seguramente estoy en un error, te agradecería que lo aclarases.
No, hombre, para eso estamos.
En la entrada no hemos terminado calculando la probabilidad de bebernos UNA molécula concreta dos veces, sino ALGUNA cualquiera dos veces.
Podemos plantearlo de esta manera:
«Dado un año de 5*10^46 días, y 2*10^30 personas, calcular la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día».
No estamos calculando el caso para dos personas en concreto, sino para una pareja al azar.
En el caso de las moléculas, la «pareja» se refiere al hecho de que una molécula pase dos veces por nuestro cuerpo.
¿Soluciona algo?
Aún no lo tengo claro.
¿Por qué la probabilidad de no beber la misma molecula es: (4.8*10^46-1)/4.8*10^46 ?
Yo diría que la probabilidad de no beber una determinada molécula es 1 – la probabilidad de beberla (y la probabilidad de beberla deberia ser 3*10^29/5*10^46). Desde ahí y si hablamos de «volver» a beberla tendríamos un suceso dependiente.
Lo que ya empiezo a entender es que se puede aplicar la aproximación de Taylor para parejas de moléculas (no tengo por qué beber la nº1 dos veces, puede ser la número 1000000).
Si me aclaras de dónde sacas la probabilidad del suceso del principio creo que ya lo pillo.
Saludos
Ah, mierda, es que al final decidimos hacer una aproximación (de 4.8 a 5) y se nos pasó cambiar las fórmulas. Nos quedamos con el 4.8.
De todas maneras, la probabilidad es esa porque, de todo el conjunto de moléculas posible (4.8*10^46), puedes beberte cualquier otra molécula menos la que acabas de tomar ((4.8*10^46)-1). Las 3*10^29 son el número de moléculas que vas a terminar bebiendo, no las disponibles para beber.
Entre los paréntesis y la aproximación hemos liado la perdiz, lo corregimos.
Muchas gracias.
Soy químico, me ha gustado mucho la entrada pero un mol de agua no tiene 6.23*10^23 moléculas, sino que tiene un número de Avogadro de moléculas de agua, que se corresponde con 6,023*10^23 moléculas, os habéis comido un cero…jeje
Corregido, muchas gracias 😉
Hola, leyendo la entrada me eh dado cuenta de que usas como referencia el volúmen de agua total del planeta, pero solo es potable el agua dulce, por lo que creo que deberías usar como referencia el volúmen de agua dulce. buscando en wikipedia aparece que hay unos 120mil km3 de agua potable accesible (descontando el agua de casquetes polares de los que no bebemos) como ref: https://es.wikipedia.org/wiki/Agua#El_agua_dulce_en_la_naturaleza
Excelente Artículo. Bastante interesante, incluso para poner en clase a los chicos de química.
Saludos!
Eh, no se en qué medida afectará al resultado, pero te has colado en los moles de agua en un litro de la misma. Dices que son 5,55 moles por litro, pero se te ha ido la coma, son 55,55 moles. Por cierto, maldito seas, encontré este blog hace nada y llevo cinco días leyendo sin parar todo tipo de entradas, es peor que la droga. Saludos