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La ley de Benford

Pese a que el título de la entrada de hoy podría corresponder a una mala película de acción de Hollywood, realmente vamos a hablar de matemát… ¡No, quedáos, por favor! ¡Los números también pueden hacer cosas interesantes! ¡Mirad, un fósil de ammonite hecho de pirita (sulfuro de hierro)!

La ley de Benford enuncia que las primeras cifras de un conjunto de datos generados de manera natural (la población de varios países, la facturación mensual de de una empresa, la longitud de los ríos) aparecen con una frecuencia diferente.
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Fractales

En algún momento aburrido de nuestra vida, todos nos hemos puesto a dibujar patrones recursivos en la hoja de papel más cercana sin saber realmente lo que estábamos haciendo. Por ejemplo, una línea de la que salen dos líneas al final empieza a convertirse en algo agradable a la vista tras unas pocas repeticiones.

Este concepto tan simple es una figura fractal: un objeto geométrico autosimilar.

Espera, espera, ¿Qué es eso de autosimilar?

Es la manera bonita de decir “si haces zoom en un sector de la imagen, ésta seguirá pareciendo igual (o casi igual) que la original porque estás repitiendo el mismo patrón una y otra vez“. Dicho sin palabras:

La figura que acabamos de ver, en concreto, se llama árbol pitagórico, no porque Pitágoras tuviera algo que ver con su invención, sino porque su primera formulación fue construida usando cuadrados y su inventor, Albert E. Bosman, decidió bautizarlo con el nombre del rey de los cuadrados.

Otro diseño fractal consiste en dibujar triángulos en los lados de un triángulo y a su vez meter más triángulos en esos triángulos y repetir el proceso hasta obtener tantos triángulos tan pequeños que parecen una línea a simple vista y terminar aproximando una curva que… Que noo, que adjuntamos una animación de lo que hemos descrito, llamado la curva de Koch:

Crédito: wikimedia commons.

O, ya que hablamos de triángulos, os presentamos la pirámide de Sierpinksi:

Fuente: wikimedia commons.

Pero no nos conformemos con las líneas en blanco y negro.

Hay figuras fractales más complejas que representan conjuntos de números obtenidos mediante fórmulas matemáticas. Un ejemplo es el fractal de Mandelbrot, conseguido representando sobre este plano los números que pertenecen al conjunto de números que cumple:

z_{n+1} = z_n^2 + c

Lo que nos da un patrón bidimensional que, por mucho que aumentemos, seguirá poseyendo una geometría similar a la imagen original.

Los colores están añadidos por separado para poder distinguir algo.

Y, después de todo esto, ¿sirven para algo las figuras fractales?
Aunque tienen aplicaciones tecnológicas, son aburridas de enumerar, así que os las enlazamos aquí.

Más interesante es el hecho de que estamos rodeados de formas fractales… Más o menos. Una figura fractal, por definición, contiene infinitas iteraciones de los mismos pasos, algo que es imposible en la vida real, fuera del plano matemático. De lo que estamos rodeados en realidad es de figuras que se asemejan a fractales, como los patrones que van erosionando los ríos a medida que fluyen…

Las marismas del parque de Doñana tienen cierto carácter fractal.

O la línea de costa, que por mucho que hagas zoom hacia ella, sigue compuesta por el mismo tipo de curvas cada vez más pequeñas… Hasta que llegas a algún pedazo de piedra o arena y deja de cumplirse la propiedad fractal. En el siguiente ejemplo, hemos usado la costa oeste de la isla de Ibiza.

Click en la imagen para ampliar.

Aún así, es muy interesante el hecho de que las formas fractales aproximadas también están presentes en los seres vivos porque tienen dos ventajas: son eficientes distribuyendo el espacio y son fáciles de codificar. Por ejemplo, almacenar la posición exacta de cada uno de nuestros vasos sanguíneos o nervios conllevaría una cantidad brutal de datos, así que nuestro ADN contiene instrucciones “fractales” que permiten minimizar la cantidad de información contenida en el código genético, ya que proporcionan unas directrices para su desarrollo en vez de describirlo componente por componente. En vez de decir “coloca esa vena allí, luego lleva otra allá y procura pasar esta por ahí también, luego…“, nuestro código genético ordena “tira esta vena y haz bifurcaciones a tal distancia hasta que te canses” (interpretación libre).

Distribución de las venas y arterias en el cuerpo al estilo “árbol Pitagórico”. Fuente, aquí.

Lo mismo ocurre en el crecimiento de las ramas de los árboles (esta era bastante obvia) o en el broccoli romanesco, cuyas flores maximizan la cantidad de superficie expuesta al sol.

“¡Niño, cómete tus fractales o no hay postre!”

Sólo por si acaso, para terminar la entrada, queremos aclarar una cosa: las figuras fractales de ocurrencia natural no son la prueba de la intervención de ninguna inteligencia superior, ni tienen nada de espiritual. La naturaleza no es sabia, es vaga (sólo que mucho más eficiente siéndolo que nosotros).

El mal de los ceros

A principios de los años 20, en Alemania, empezaron a aparecer casos de gente cuyo único deseo era ponerse a escribir filas interminables de ceros.
Esta extraña enfermedad mental no había afectado nunca a ninguna otra región del mundo en ninguna otra época, así que, ¿qué puñetas estaba pasando?

Pista: el dinero valía tan poco que había quién lo usaba
como papel de pared.

La Primera Guerra Mundial terminó en 1919 con el tratado de Versalles, que obligaba a Alemania a pagar a los aliados los daños provocados por la guerra. Pero había un problema: al estallar el conflicto, Alemania había suspendido la convertibilidad de su moneda, el marco, en oro y dedicido basar toda su campaña bélica en dinero prestado. Como el valor de su moneda era básicamente el del papel sobre el que estaba impreso, en 1921 se decidió que la deuda tendría que ser pagada en oro o en moneda extranjera por lo que, para pagarla, el gobierno alemán empezó a imprimir billetes en masa para poder comprar moneda extranjera a cualquier precio y, con tanto dinero en circulación, el valor de los marcos empezó a caer en picado.

Como resultado, en diciembre de 1922, un dólar equivalía a 800 marcos alemanes y, para noviembre del mes siguiente, el cambio estaba en un dólar por cada 4.210.500.000.000 marcos. La inflación alcanzó tal velocidad que los trabajadores pedían ser pagados al principio de sus turnos y, cuando cobraban, se les daba media hora para que fueran corriendo a comprar lo que necesitaran antes de que sus sueldos perdieran todo su valor. Se decía, incluso, que el precio de un café podía duplicarse en el tiempo que tardabas en bebértelo.
Con los bienes del día a día pagados a millones y miles de millones de marcos, los libros de cuentas se convirtieron en un caos repleto de ceros, las etiquetas de los precios eran cada vez más absurdas y tenían que ser actualizadas constantemente y los valores que aparecían en los billetes parecían no tener sentido, por lo que no es de extrañar que cajeros, contables y banqueros pasaran gran parte de su jornada laboral contando y escribiendo más ceros de los que nosotros veremos en nuestras vidas.

La imagen corresponde a una medalla conmemorativa de 1923 referente a la inflación. El texto reza “El 1 de noviembre de de 1923, cuestan: una libra [algo menos de medio kilo] de pan, 3 mil millones, una libra de carne, 36 mil millones, un vaso de cerveza, 4 mil millones“.
Total que, como resultado, aquellos que trabajaban con estas cifras a diario, con sus correspondientes cálculos para reajustar los precios cada día,  terminaban tan aferrados al número que se volvían locos y su único deseo y máxima aspiración pasaba a ser escribir interminables filas de ceros. Además de esta compulsión por dibujar aros alineados, los algunos pacientes perdían la noción de las cifras y, al ser preguntados, podían decirte perfectamente que tenían veinte mil millones de años y cuatrocientos billones de hijos. 

Criminalidad y policía

Ayer estábamos en un bar y el de la mesa de al lado dijo que “paradójicamente, está demostrado que en los países donde hay menos policía, hay también un menor criminalidad.
Alguien que dice “paradójicamente” en la vida real no puede ser de fiar, así que nos pareció que sería una buena idea investigar sobre el tema.
En primer lugar, hemos entrado en la página web de la Oficina Estadística de la Unión Europea (Eurostat) y hemos tomado de aquí el número de crímenes registrados anualmente por cada país de la UE, de este otro enlace el número de agentes de policía en cada país y de wikipedia el número de habitantes en 2010. Con esto hemos calculado la cantidad de crímenes y agentes de policía per cápita para cada país, y lo hemos representado en el siguiente gráfico.

Los países que no aparecen en el el gráfico no tenían 
datos de alguna de las variables para 2010.
Subrayamos que en el gráfico aparecen los crímenes por cada 1.000 habitantes y los agentes de policía por cada 10.000 habitantes. Esto se debe a que, en la misma escala, los números son muy dispares y, a la hora de representarlos para la misma cantidad de habitantes, prácticamente no se podía distinguir la relación con el número de agentes porque las barras quedaban pequeñísimas en comparación con la criminalidad. Como queremos comprobar visualmente si, en conjunto, una variable depende de la otra, no importa realmente que las series de datos estén a la misma escala o no.
Para tener una perspectiva un poco más clara, en el siguiente gráfico hemos ordenado los países de mayor a menor número de policías por habitante

… Y el caso contrario, ordenados de mayor a menor criminalidad.

En general, parece que los gráficos apuntan a algún lado, pero no termina de quedar clara la tendencia ya que, si bien es verdad que algunos países con muchos policías por habitante presentan índices de criminalidad muy bajos, otros con una proporción similar de policía no parecen cumplir esta regla.
Para intentar sacar algo en limpio (y porque nos gusta hacer gráficos), hemos cogido la evolución de la criminalidad y el número de agentes de policía para varios países desde 2001 hasta 2010.
Por ejemplo, en el caso de España, parece que los datos llegan a algún lado.
Pero luego aparece Dinamarca y lo echa todo por tierra, manteniendo prácticamente constante el número de agentes mientras observan cómo los criminales delinquen hasta cansarse, para luego echarlo de menos y volver a las andadas.
“Nuestra estrategia es dejar que hagan lo que quieran y creemos que
 terminarán aburriéndose  ellos solos, que el crimen es una moda 
pasajera”. La policía danesa. 
Y Alemania parece seguir la misma política que Dinamarca, con la diferencia de que por algún motivo sí que parece funcionarle.
El caso de Italia, en cambio, es un poco más dinámico. Se nota más el “tira y afloja” entre el bien y el mal.
Total, que no sabemos qué interpretar exactamente de estos datos, porque suponemos que hay muchos más factores influyendo, así que os dejamos a vosotros la tarea de sacar vuestras propias conclusiones, y os animamos a compartirlas en los comentarios
Nuestra intención es que expongáis vuestros puntos de vista y, si vemos que no hay mucho trolleo y el debate llega a algún lado, seguiremos haciendo gráficos y continuaremos con el debate en una entrada nueva.

Respuestas XI: Beber dos veces la misma molécula de agua

Ivan Manko nos pregunta esta semana algo que le lleva atormentando desde primaria:

¿Cual es la probabilidad de beberme dos veces una misma molécula de agua? Por todo el ciclo del agua y esas cosas.

En primer lugar, esta entrada no da pie a colgar muchas fotos, así que para compensaros colgamos esta imagen de un perro comiendo un helado y sintiendo el frío en la cabeza.


En segundo lugar, resolvemos la incógnita. 

Nuestro cuerpo toma agua del medio constantemente (cuando respiramos, entra vapor de agua en nuestros pulmones) de la misma manera que también la libera sin parar a través del sudor (no nos referimos al sudor de nivel de ronchas en los sobacos, todos estamos constantemente exudando pequeñas cantidades de humedad), la respiración o de nuestras propias lágrimas. Por tanto, en las siguientes situaciones estás volviendo a ingerir no una, sino probablemente miles de moléculas de agua que ya habían estado antes en tu cuerpo.

1) Estás comiendo algo con las manos, y unas cuantas moléculas de sudor transpiradas por tus poros acaban en tu bocadillo y te las comes. Acabas de consumir las mismas moléculas de agua que en algún punto habías asimilado.

2) Estás en tu habitación encerrado leyendo cada una de las entradas de Ciencia de Sofá, y llevas suficiente rato como para que la humedad del aire de tu respiración se quede flotando en el aire y vuelvas a inhalarla.

3) Las lágrimas de emoción que salen de vuestros ojos al terminar de leer esta entrada resbalan por vuestras mejillas y algunas llegan a vuestros labios.

Como vemos, a nivel local estamos constantemente absorbiendo las mismas moléculas de aguaPodríamos decir eso, terminar aquí la entrada y quedarnos tan panchos habiendo resuelto el problema. Pero, como no estamos hablando técnicamente de beber, no los consideramos válidos.

Lo que sugiere Ivan es, en realidad, lo mismo que calculábamos cuando hablábamos del problema del cumpleaños, sólo que con unos números enormes.

Os dejo unos minutos para que leáis la entrada. Esto azul subrayado es un hipervínculo y, si haces click encima, se abre una nueva página que lleva a la web a la que me refiero. Lo comento porque recientemente me han dicho que no ponemos fuentes en nuestros artículos.

Mientras lo leéis, os dejamos una segunda imagen desvinculada del tema que nos ocupa.

¿Ya habéis vuelto? Bien.

Si nos habéis tomado por el pito del sereno y no habéis leído la otra entrada (muy probable), la paradoja del cumpleaños plantea qué probabilidad hay de que, entre los componentes de un grupo de personas, dos miembros cumplan años el mismo día. El resultado del experimento es lógico, pero contraintuitivo y  muy curioso.

Para calcular la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día, calculamos primero la probabilidad de que NO los cumplan el mismo día y asumimos el contrario. Si la primera persona ha nacido el 3 de Julio, por ejemplo, la otra tiene que haber nacido en cualquier otro de los 364 días del año. Por tanto:

La probabilidad de dos personas NO cumplan años el mismo día es de 364/365=99.73%. Por tanto, la probablidad de que SÍ lo hagan es del 0.27%

Para un grupo de tres personas, no sólo los dos primeros tendrán que haber nacido en días distintos, sino que la tercera persona tampoco podrá haber nacido uno de esos dos días, así que:

Probabilidad de que tres personas no cumplan años el mismo día: (364/365)*(363/365) = 99.18% y la probabilidad de que sí que cumplan años el mismo día será del 0.82%

Vemos que, con respecto al caso en el que tenemos sólo dos personas, la probabilidad se ha triplicado. Y cuanto más gente haya en el grupo, más rápido aumenta. Lo curioso es que en un grupo de 23 personas la probabilidad de que dos de ellas compartan cumpleaños es del 50% y, en uno de 57 personas, es del 99%.

Como ya hemos dicho, la pregunta que plantea Ivan es exactamente el mismo caso, pero con números tremendamente grandes.

Un litro de agua contiene 5.55 moles de agua, y un mol de agua contiene 6.023*10^23 moléculas. Por tanto, un litro de agua hay 3.46*10^24 moléculas. Si nos fiamos de la estimación en cuanto al volumen de agua terrestre ofrecido por el Servicio Geológico de los Estados Unidos, hay unas 5*10^46 moléculas de agua en la Tierra. Y, si seguimos los consejos de los médicos y suponiendo que vivamos 80 años, a lo largo de nuestra vida beberemos 3*10^29 moléculas de agua.

Aclaramos que 4.8*10^46 equivale a 48000000000000000000000000000000000000000000000, o 4.8 seguido de 45 ceros. De manera análoga, 3*10^29 será 3 seguido de 29 ceros. Hablamos de números muy, muy grandes.

Procedamos a calcular la probabilidad de bebernos dos veces la misma molécula de agua.

Tomemos una sola molécula de agua como referencia. La probabilidad de no volver a bebérnosla después de mandarla por el váter será:

                                                  

Lo que es prácticamente el 100%.

Con dos moléculas de agua, la probabilidad de no beber ni una ni la otra sería de

                             

Que sigue siendo prácticamente del 100%.

Está claro que con números tan descomunales no vamos a llegar a ningún lado, así que recurrimos a una función que nos ayudará a aproximar el resultado,

donde,

p es la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua
n es el número de de moléculas de agua que vas a beber a lo largo de tu vida
m es el número de átomos de agua en el planeta.

Sustituyendo nuestros valores, encontramos que la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua a lo largo de nuestra vida es p=1, lo que significa que es del 100%.

En realidad, es un número increíblemente próximo al 100, pero tiene tantos decimales que la calculadora (y probablemente cualquier ordenador corriente) es incapaz de representarlos y asumen directamente que 99.99999…(millones de nueves)…9999 y 100 están suficientemente cerca como para considerarse la misma cifra.

De todas maneras, la probabilidad de beber dos veces la misma molécula de agua es aún mayor (entendida como que añadiríamos incluso más nueves a 99.99999999…) ya que, por mucho ciclo del agua que tengamos en mente, gran parte del agua de la Tierra ni siquiera llegará a cruzarse con nosotros durante nuestra vida. Es el caso del agua del fondo de las fosas más profundas de la Tierra o de la que está permanentemente congelada en los polos, por ejemplo.
Así que, probablemente, el número de moléculas de agua que bebemos dos veces a lo largo de nuestra vida supera los millones. O billones. O incluso más, no tenemos manera de aproximarlo. 
Lo que sí sabemos es que variará de persona a persona.

La probabilidad de que Bear Grylls beba la misma 
molécula de agua dos veces es del 500%.

Aleatoriedad revisada.

Hace casi una semana, hicimos una encuesta en la que pedíamos elegir un número del 1 al 10 al azar. Al juntar las respuestas de 160 personas, obtuvimos esto:

El 25% de la gente tiende a elegir el 7. ¿Por qué? A Ciencia de Sofá le parece que es simplemente por su posición: en la recta numérica del 1 al 10, es el número que parece más “aleatorio”. Citando la entrada del otro día, la lógica que seguimos al responder a la pregunta es esta:

Me han pedido un número aleatorio, del 1 al 10. El 1 y el 10 no parecen aleatorios, así que me olvido de ellos. Del 2 al 9, no voy a decir el 2, el 4, el 6 y el 8 porque son pares, y los pares parecen tener  poco de aleatorio. Quedan 3, 5, 7 y 9, aunque el 9 está muy cerca del 10. El 3, el 5 y el 7 son primos, así que parecen bastante aleatorios, pero el 3 está muy cerca del 1 y el cinco está justo en la mitad de la secuencia del 1 al 10, y algo que está justo en la mitad tampoco parece nada aleatorio. Por descarte, me quedo con el 7.

Pero un anónimo no parece estar de acuerdo.

Yo creo que es normal que sea el número más votado. Es un número que está integrado en el inconsciente colectivo. Son muchas cosas que tienen que ver con el: los 7 pecados capitales, las 7 maravillas de la antigüedad, los 7 días de la semana, el candelabro judío de 7 brazos…

Personalmente, no compartimos este punto de vista: podría decirse algo parecido del 3 (los 3 cerditos, los 3 mosqueteros, los 3 deseos que conceden los genios en los cuentos, la Trinidad católica o los 3 reyes magos) o del 4 (las 4 estaciones, los 4 jinetes del Apocalipsis, los 4 elementos, “tener 4 pelos”, “ser 4 gatos” o incluso los 4 fantásticos), pero merece la pena comprobarlo.

Organicémonos.

Teorías


Anónimo: elegimos el 7 porque está anclado en el subconsciente colectivo.

Ciencia de Sofá: elegimos el 7 porque, del 1 al 10, nuestra lógica humana lo ve como el número más aleatorio.

Procedimiento

Hemos pedido que respondáis a encuesta con datos aleatorios que no tienen por qué contener necesariamente números. En Ciencia de Sofá queremos comprobar en qué circunstancias los datos obtenidos en una encuesta cualquiera, realizada de manera aleatoria por seres humanos, tendrá la misma forma que la obtenida al pedir números entre el 1 y el 10.

Si las respuestas tienden a formar este patrón, entonces Ciencia de Sofá tiene razón y realmente elegimos el 7 por su posición en la recta del 1 al 10, no porque el 7 tenga nada de especial. Si no tienen esta forma, entonces es posible que esté pasando algo más y Anónimo esté en lo cierto.

Datos obtenidos

Bien, como sabéis, habíamos diseñado una segunda encuesta que, a primera vista, podría parecer absurda. Este era el formulario, de 6 preguntas:

Por desgracia, Google no da mucha libertad a la hora de diseñar hojas de encuestas y no deja organizar las opciones en filas horizontales.

Esto ha tenido un efecto devastador en dos de las preguntas.

Encuestados: “Voy a darle a lo que sea que hay en el medio, sin leer  nada”

Conclusión: dado un menú desplegable o una columna en la que hay que elegir una opción aleatoria, los seres humanos no nos complicamos la vida y elegimos “una que esté por en medio”.

De las 6 preguntas, estas dos primeras han sido un chof total. Maldito seas, Anónimo, empiezas a ganar terreno.

¡Siguiente!

En otra pregunta, hemos pedido que nos digáis números entre el 750.000 y el 995.000. Luego vimos los resultados, y alzamos el puño al cielo maldiciendo el momento en el que se nos ocurrió poner números tan grandes en la pregunta.

Festival del humor.

De esto no podemos hacer un gráfico de frecuencias, porque tendríamos que haber preguntado a varios millones de personas para poder sacar alguna conclusión, así que hemos optado por una aproximación más simple.

Imaginamos que 750.000 y 995.000 son los extremos de una recta.

Si hacemos la media de todos los valores, veremos hacia qué lado habéis tendido a elegir vuestros números. Si se cumple la regla que proponemos en Ciencia de Sofá, entonces la media debería quedar en el lugar aproximado donde estaría el 7 si la comparáramos con una recta que va del 1 al 10.

Valor que la media de nuestros números debería rondar.

Después de intentar sumarlo todo con una calculadora, tirar la toalla, organizar todos los datos y pasarlos a Excel, hemos calculado que el valor medio que habéis elegido es el 829.036.

Pero, espera un momento, ¿No has obtenido el resultado exactamente inverso al que esperabas?

Ahora que lo dices, eso parece. La posición equivalente del número al 7 al otro lado de la recta sería el 823.500.

De hecho, la media (829.036) sólo está desviada del resultado “ideal” (823.500) en un 2.2%.

Esto plantea una nueve incógnita: ¿Y si al ser preguntados por un conjunto de datos aleatorios, los humanos tendemos a evitar los extremos y el centro, y a elegir algún punto cercano a la mitad de una de las mitades? Es decir:

Veamos los resultados de las siguientes dos preguntas.

En otra pregunta pedíamos elegir varias opciones al azar. Como en los dos primeros casos, también era una columna, pero tenía una variación: podías marcar cuantos recuadros quisieras, lo que te obliga, al menos, a echarles un vistazo a todos antes de elegir.

Ahora aparecen dos picos muy marcados, así que vamos a compararlos con nuestra recta ideal.

Las cruces azules representan los puntos en la recta a los que corresponderían los máximos de la función que, casualmente, están prácticamente en el centro de cada mitad de la recta.

O sea, que habéis cogido una pregunta en forma de lista más larga y lo habéis respondido como si fueran dos listas más pequeñas. Menuda manera de jugar con nuestros sentimientos.

Sólo quedan dos preguntas por comprobar.

En la primera, pedíamos que eligierais un número del 35 al 52. En realidad es lo mismo que pedir un número del 1 al 10, sólo que un poco más camuflado. Total, que me habéis mandado esto.

Y este es el resultado:

¡Espera un momento! ¿Ese pico está donde le correspondería al 7?

Vamos a comprobarlo comparándolo con nuestra hipotética recta numérica.

El pico máximo de la derecha encaja justo sobre la posición donde estaría el número 7 si esto fuera una recta del 1 al 10. Consideramos esto una prueba bastante sólida para nuestro argumento pero,

1) Hay otros picos bastante altos que tampoco se pueden despreciar.

2) ¿Qué ha pasado con el lado izquierdo esta vez?

De verdad que nos encantaría poder responder a esa incógnita pero, la última pregunta, bueno… Tampoco sabemos muy bien qué queríamos conseguir con ella, fue la emoción del momento.

Aunque me alegra ver que tenéis la autoestima alta.

Así que nos hemos quedado sin más datos.

Conclusión.
Cuando hemos pedido a los lectores que elijan una opción de una lista, han tendido a elegir las opciones del centro de la lista.
Cuando hemos hecho lo mismo, permitiendo elegir más de una opción, han tendido a elegir los resultados cercanos al centro de cada mitad de la lista.
Cuando hemos pedido sacar números directamente de la imaginación, sin ninguna lista como guía, en una de las preguntas el resultado más elegido se corresponde geométricamente con el lugar que ocuparía el 7 en una lista del 1 al 10. En la otra pregunta hemos obtenido el resultado prácticamente inverso, pero el intervalo de números que hemos pedido no nos convence y deberíamos repetirlo con cifras más manejables.

Veredicto.

No podemos asegurar que Anónimo o Ciencia de Sofá tengan razón aún.

Necesitaremos más datos, pero esta vez los pediremos directamente en la calle, que a vosotros ya os hemos dado la lata suficiente (y además conocéis el truco).

Gracias a todos por participar.

Aleatoriedad

Ayer pedimos por Facebook y Twitter que pensarais un número del 1 al 10 al azar y pusierais vuestra respuesta en el siguiente link. Participaron 160 personas que ahora verán resueltas sus dudas.
Como pedimos números aleatorios y sabiendo que hay diez números, una persona debería tener el 10% de posibilidades de elegir cualquiera de los números y, a primera vista, cada número debería ser elegido el mismo número de veces. Los resultados deberían quedar distribuidos así:

Pero, como generadores de números aleatorios, los seres humanos damos bastante lástima. Lo habéis ilustrado perfectamente en la encuesta porque este ha sido el resultado.

“Sólo teníais una tarea…”
He hecho una tabla para que se vea más claro.

¡Pero si he elegido el 7 al azar! ¿Por qué lo ha hecho tanta gente? ¿Soy un zombie descerebrado que sigue a las masas? ¿No tengo nada de especial?
No saltes aún por la ventana. Responder el 1 o el 10 no te hace mejor persona sólo porque lo haya elegido menos gente. Lo que pasa es que del cerebro de los que eligen el 7 ha seguido más o menos este razonamiento:
Me han pedido un número aleatorio, del 1 al 10. El 1 y el 10 no parecen aleatorios, así que me olvido de ellos. Del 2 al 9, no voy a decir el 2, el 4, el 6 y el 8 porque son pares, y los pares parecen tener  poco de aleatorio. Quedan 3, 5, 7 y 9, aunque el 9 está muy cerca del 10. El 3, el 5 y el 7 son primos, así que parecen bastante aleatorios, pero el 3 está muy cerca del 1 y el cinco está justo en la mitad de la secuencia del 1 al 10, y algo que está justo en la mitad tampoco parece nada aleatorio. Por descarte, me quedo con el 7.
Total, que de las 10 respuestas posibles, el 25% de los encuestados habéis elegido la misma. Eso tiene de aleatorio lo que yo de geisha.

Hablemos un poco por encima de aleatoriedad.

Los números aleatorios se utilizan para muchísimas cosas, desde simulaciones computacionales de gases o fluidos, pasando por la encriptación de contraseñas de alta seguridad hasta portales de apuestas online para decidir los resultados de la ruleta, pero conseguir cifras realmente al azar es una tarea mucho más difícil de lo que parece.

A los ordenadores, como las máquinas lógicas basadas en instrucciones que son, se les da incluso peor que a nosotros generar datos al azar. Pueden generar números pseudoaleatorios, secuencias de datos que parecen no tener ninguna lógica ni relación, pero que terminan adoptando ciertos patrones predecibles a gran escala porque siguen una fórmula. 

Para generar números realmente aleatorios, los matemáticos cogen datos del mundo real y los pasan por el ordenador.  
Una de las maneras más sencillas y comunes es decirle al ordenador que cuente los milisegundos que han pasado en un determinado momento desde, yo que sé, la medianoche del 26 de febrero de 1986, y que se quede con las tres últimas cifras. 
Luego hay quien usa fuentes radiactivas para generar números aleatorios. Los átomos de un material radiactivo liberan electrones de una manera totalmente aleatoria mientras los neutrones de su interior se descomponen en protones. La energía que desprende el flujo de electrones puede convertirse fácilmente en voltaje, de manera que es muy fácil meter el dato en el ordenador. En este video hacen esto con estroncio-90.

Existen otros métodos más rebuscados, como el LavaRnd, que extrae los números de fotos echadas a una lámpara de lava. Básicamente es una cámara que enfoca una lámpara de lava, y tomo una instantánea cada vez que se le pide generar un número aleatorio. Las imágenes digitales no son más que combinaciones de números asignados a cada pixel de la pantalla así que, al ser la lámpara de lava un sistema en continuo cambio, cada foto será diferente a las anteriores y, por tanto, el código de la imagen contendrá números diferentes.

En esta imagen hago gala de la incapacidad  humana 
de escribir secuencias aleatorias a mano.

FIN DE LA ENTRADA.

El problema del cumpleaños

Imagina que estás con 9 amigos. No hay gemelos, ni siameses, ni es año bisiesto, para no complicar más las cosas.

¿Qué probabilidad hay de que dos de vosotros cumpláis años el mismo día?
Hay 365 días en un año, así que parece seguro asumir que es bastante complicado que dos personas cumplan años el mismo día, a menos que nos encontremos en un grupo muy numeroso de personas.
La estadística nos dice otra cosa. 

Basta un grupo de 23 personas para que la probabilidad de que dos de ellas hayan nacido el mismo día del año sea del 50%, y se llega al 99% con sólo 57 personas.
Lo podemos probar contigo y tu grupo de amigos, que sólo sois 10 y se calcula rápido. Este problema tiene dos posibles opciones: dos personas cumplen años el mismo día o no lo hacen.

Lo que calcularemos será la probabilidad de que dos personas NO cumplan años el mismo día, que es mucho más simple. Como la probabilidad de que dos personas hayan nacido el mismo día y la probabilidad de que no, sumadas, tienen que cubrir todos los escenarios (el 100%), podremos calcular la probabilidad contraria con una simple resta.

Digamos que tú has nacido el 3 de junio, que es sólo uno de los 365 días del año. La probabilidad de que uno de tus compañeros no haya nacido el 3 de junio es de 364/365. Es decir, puede haber nacido en cualquiera de los otros 364 días de los 365 posibles, mientras no sea el 3 de junio.
Para que un tercer compañero tampoco cumpla años el mismo día que tú o que tu primer amigo, tiene que haber nacido en una fecha que no sea la de ninguno de vosotros. Por tanto, puede haber nacido en cualquiera del resto de los 363 días de los 365 que tiene el año. 
Aplicando esta lógica a las diez personas, podemos calcular la probabilidad de que dos personas no hayan nacido el mismo día como:
Probabilidad de no compartir fecha de cumpleaños = (365/365)*(364/365)*(363/365)*(362/365)*(361/365)*(360/365)*(359/365)*(358/365)*(357/365)*(356/365)*100 = 88,30%
Por tanto, de un posible total del 100%, la probabilidad de que dos personas. de un grupo de 10, cumplan años el mismo día es del 11,70%.

A partir de un grupo de 57, la probabilidad supera el 99% y sólo añade decimales hasta llegar a 366, cuando la probabilidad de que dos de ellas hayan nacido el mismo día llega al 100%, porque ya hay una persona más que días disponibles y por fuerza tiene que repetir alguien.

En el siguiente gráfico aparecen representadas las probabilidades para hasta 100 personas. 

Crédito: wikipedia.com
Y en la siguiente tabla, la misma información de manera más palpable: n representa número de integrantes en el grupo y p(n) es la probabilidad de que dos cumplan años el mismo día.

Para quien no esté familiarizado con términos como 1.45×10−155, este número es lo mismo que 1.45 multiplicado por 0,0000… (155 ceros en total) …0001. 

El minigolf del Diablo

Esta figura geométrica surgió de la mente de un tal D. Castro, como la respuesta a un interrogante planteado en la década de 1950 por Ernst (los alemanes sólo usan las vocales en caso de emergencia) Strauss: ¿Existe una habitación que, cubierta de espejos, no pueda ser iluminada por una sola vela?



El primero en proponer un contraejemplo que diera una respuesta contundente a esta pregunta fue George Tokarsky en 1995, con una figura geométrica de 26 lados que demostraba que sí, que existen figuras que cumplen esa condición.

Más tarde, el tal D. Castro (de quien asumo que no soy capaz de encontrar el nombre, ya que esto es lo máximo que me he acercado) propuso la figura de 24 lados que aparece en esta entrada.

Si se colocara una vela en el punto A, un observador situado en el punto B no podría ver el reflejo de la llama en ninguno de los espejos que le rodean. Supongo que, por eso, esta figura recibe el sobrenombre de “el agujero negro”, un cuerpo celeste que posee una fuerza gravitatoria tan poderosa que ni la luz puede escapar de ella (aquí faltan matices que espero tratar en entradas futuras).

Con un enfoque más simplista, pasándonos las leyes de la física por el forro, suponemos que:

– Tenemos un palo de golf indestructible.
– Tenemos una bola indestructible.
– No hay aire en la habitación, así que la bola no pierde energía por rozamiento.
– El suelo está hecho de un material mágico que no genera fricción, por el mismo motivo.
– Lanzamos la bola desde el punto A con una fuerza casi infinita.
– Los espejos son indestructibles y transmiten toda la energía del rebote de nuevo a la bola, para evitar que se rompan y que caiga sobre nuestros hombros una eternidad de mala suerte.

“No os preocupéis, lo tengo todo bajo control”

Entonces, dando por hecho que desaparecemos como nenazas cuando la pelota empieza a volar a nuestro alrededor a velocidades cercanas a la de luz, ya puede rebotar la bola para siempre, que nunca va a llegar al punto B.

A grandes rasgos, supongo que algo así quería decir el que acuñó el término “el minigolf del Diablo”.